나비에 스토크스 방정식 유도 (Navier-Stokes equations) 이해하기

나비에 스토크스 방정식에 대해 이해한 바를 정리하고자 합니다.

그 전에 기본적으로 알아야 할 사항입니다.

 

나비에 스토크스 방정식을 한 문장으로 표현하면 아래와 같습니다.

 

'점성을 가진 유체에 작용하는 힘과 운동량의 변화를 기술하는 비선형 편미분 방정식'

'점탄성이 없는 유체(뉴턴 유체)에 대한 일반적인 운동 방정식'

(점탄성과 점성은 다릅니다)

 

 

 

나비에 스토크스 방정식은

유도 과정이 복잡하고

그 중간중간 단순화를 가정하는 것이 많아

공식이 여러가지가 있지만 

가장 보기 편한 것이 아래의 식 같습니다.

 

 

위 식을 이해하기 위해서

먼저 알아야 할 것이 있습니다.

수학적인 내용입니다.

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미소 유체 시스템에 Newton의 제 2법칙(F=ma)을 적용하기 위해

유동의 가속도 벡터장 a 를 계산하여야 합니다.

속도 벡터 V의 전시간 미분을 계산하면 아래와 같습니다.

(일반적으로 d는 전미분, ∂는 편미분이라고 생각하면 된다.)

 

여기서 u, v, w 는 시간 t에 영향을 받는 함수이므로, 아래와 같이 표기 됩니다.

이를 전미분이라 하며, 편미분처럼 다른 변수를 상수로 취급하여 단순 미분해버리면 안됩니다.

즉, x축 속도벡터인 u를 보면, 아래와 같습니다.

 

 

위에서 x축에 대한 가속도를 구했지만

유체는 3차원 공간에서 흐르니 x, y, z 다 필요하겠죠. 

따라서 이를 x, y, z축으로 확장시키면 아래와 같습니다.

 

 

이게 바로 나비에 스토크스 방정식의 좌변이 2가지로 쓰이는 이유입니다.

 

이제 본격적으로 들어갑니다.

 

 

미소 유체 시스템에 가해지는 힘은 중력에 의한 힘과, 미소체적의 x, y, z 표면에 가해지는 힘 두 가지가 있습니다.

이를 표현하면 아래와 같습니다.

 

즉,

 

그렇다면, 저 각각의 힘을 어떻게 구할까요?

중력에 의한 힘 Fgrav 는 그래도 간단합니다.

 

미소구간 표면에 가해지는 외력을 구하는게 조금 어려운데,

아래를 잘 살펴보세요

 

 

 

이제 나비에 스토크스 방정식을 완성하기 위해

점성력 까지 고려해 줍니다.

 

 

좀 더 볼까요?

 

 

이를 바탕으로, x축에 대한 표면력을 먼저 구하면

 

 

이를 또 3차원으로 확장하면

 

 

 

이제 위에서 봤던 식

에 위에서 구한것들을 넣어줍시다.

 

이를 다시 표현하면

 

 

 

최종적으로 처음 봤던 식이 다시 나오져

 

의미를 살펴보면 아래와 같다고 할 수 있습니다.

응력 텀에 점성력까지 반영 돼 있고

체적력이 뭐 중력에 의한 힘이겠죠?

 

여기까지가 뉴턴유체, 비압축성 유체에 대한 나비에 스토크스 방정식

유도라고 할 수 있겠고, 비점성이라면 좀 더 단순해지구요

 

압축성을 고려하면 좀 더 복잡해지게 됩니다.